Orb w astrologii harmonicznej: pierwszy model

Idea astrologii harmonicznej jest taka, że wszystko, co się astrologicznie dzieje, ma postać fal, które istnieją w tej przestrzeni, która interesuje astrologów – czyli na kole (okręgu) horoskopu. Matematycznie są to fale, z których każda ma:
(I) pewną amplitudę (są fale silniejsze lub słabsze),
(II) ma swój okres przestrzenny albo długość fali, przy czym ta długość fali musi być taka, żeby w okręgu mieściła się całkowita liczba fal, czyli 360°/n,
(III) ma określoną fazę.

Faza jest określona przez położenie planety. Możemy przyjąć, że dokładnie tam, gdzie leży planeta w horoskopie, fala (związana z tą planetą) ma fazę = 0.

(Jeśli fale te będą przedstawione jako sinusoidy, to faza = 0 oznacza, że w miejscu planety fala jest równa zero, czyli ma węzeł. Jeśli fale będą cosinusoidami, to w tamtym miejscu, przy fazie 0, będą mieć maksimum czyli strzałkę.)

Jaki sens ma orb? – Taki, że dwie fale, które są przesunięte na okręgu o ten orb, są jeszcze nie do rozróżnienia. Co oznacza też, że dwie planety odległe o orb są nie do odróżnienia i zlewają się w jedną koniunkcję.

Jak matematycznie wyrazić, że dwa obiekty „są nie do odróżnienia”? Akurat w „świecie” sinusoid i cosinusoid, oraz ogólniejszych form falowych wyrażanych przez liczby zespolone, taka miara podobieństw i różnic jest dobrze znana. Jest to całka z kwadratu sumy dwóch porównywanych funkcji (czyli fal). Kiedy działamy w „świecie” liczb zespolonych, zamiast kwadratu używamy kwadratu modułu. Czyli nie (a razy a), tylko (a razy (sprzężenie a)). – Ale to matematyczne szczegóły.

Wracając do fal na okręgu horoskopu, wyobraźmy sobie dwie planety oddalone o pewien odcinek, właściwie kąt, „d” (czyli o orb). Policzymy, na ile są one do siebie podobne lub niepodobne (różne). Fale te mają kształt sinusoid:
f = A·sin(x)
g = B·sin(x-d)

Tu bardzo ważna okoliczność: takie dwie funkcje (czyli fale) mogą wykasować się, znieść do zera. W przypadku, gdy mają takie same amplitudy, A=B, a druga jest przesunięta względem pierwszej o kąt 180°, to druga będzie równa: A·sin(x-180°) czyli -A·sin(x), więc suma obu funkcji będzie równa zero. Co dla nas znaczy tyle, że fale przesunięte o 180° są maksymalnie (zupełnie) niepodobne: całka z ich sumy jest równa zero.

Widzimy więc, że:
Dwie funkcje-fale, f i g, które są równe i/czyli mają tę samą fazę, czyli kąt przesunięcia tej drugiej, d=0, mają maksymalną miarę podobieństwa.
Dwie funkcje-fale, przesunięte o d=180°, mają miarę podobieństwa równą zero – czyli są maksymalnie niepodobne.

Policzymy miarę podobieństwa zależnie od d, od przesunięcia.

Dla łatwiejszych rachunków możemy sinusoidy zastąpić funkcjami zespolonymi:
f = A·exp(i·x)
g = B·exp(i·(x-d))

Przechodzenie od sinusoid i cosinusoid na zespolone funkcje wykładnicze („exp”) jest dobrze przećwiczone w matematyce, jedne są równoważne drugim.

Podobnie jak poprzednio przyjmujemy równe amplitudy, A=B, co inaczej oznacza, że amplitudy możemy dalej w tych rachunkach pominąć. Suma obu funkcji wynosi:

f+g = exp(i·x) + exp(i·(x-d))

Sprzężenie tego wyrażenia zespolonego wyliczymy wiedząc, że (a) sprzężenie sumy równa się sumie sprzężeń, i (b) sprzężenie exp(i·x) równe jest exp(-i·x) . Więc:

SPR(f+g) = exp(-i·x) + exp(-i·(x-d))

Te dwa wyrażenia, f+g i SPR(f+g) mnożymy i następnie całkujemy całym po okręgu. Najpierw policzmy ich iloczyn:

(f+g) · SPR(f+g) = (exp(i·x) + exp(i·(x-d))) · (exp(-i·x) + exp(-i·(x-d))) = ...

Korzystamy dalej ze zwykłego wzoru na mnożenie dwóch sum:

… = exp(i·x)·(exp(-i·x)) + exp(i·x)·exp(-i·(x-d)) + exp(i·(x-d))·exp(-i·x) + exp(i·(x-d))·exp(-i·(x-d)) = …

… = exp(i·x)·(exp(-i·x)) + exp(i·x)·exp(-i·x)·exp(i·d) + exp(i·x)·exp(-i·d))·exp(-i·x) + exp(i·(x-d))·exp(-i·(x-d)) = …

Wyrażenia typu exp(i·a)·(exp(-i·a)) = exp(i·(a-a)) – redukują się do jedynki, ponieważ exp(0)=1. Wyrażenie więc się bardzo upraszcza:

… = 1 + exp(i·d) + exp(-i·d) + 1 = …

… = 2 + 2·cos(d)

Okazuje się, że nawet nie musimy liczyć całki, ponieważ wyrażenie to nie zależy od zmiennej (kąta) x, więc całkowanie sprowadza się do banalnego pomnożenia przez długość okręgu. Ten mnożnik i liczbę 2 wciągamy do amplitudy czyli pomijamy.

Okazuje się, że miara podobieństwa dwóch fal, których fazy różnią się o d, wyraża się wzorem:

1 + cos(d)

Można równie dobrze użyć połowy z powyższego, czyli:

1 + cos(d)/2

Ta funkcja jest o tyle wygodna, że w maksimach ma wartość 1, w minimach 0.

Oto wykres tej funkcji:

W pobliżu przesunięcia d równego 0 ta funkcja podobieństwa ma rozległe maksimum – jest to zresztą zwyczajne maksimum cosinusoidy. Przyjmijmy, że dwie fale przesunięte o pewne d uznajemy za niepodobne, gdy ta funkcja będzie równa połowie swojej wartości w maksimum – czyli będzie równa 1/2. Tak się dzieje dla d=90°. Więc z przyjętego modelu podobieństwa fal orb wychodzi równy 1/4 okresu fali. Dla koniunkcji, gdy odpowiadająca jej fala ma okres pełnego koła czyli 360°, orb równy jest 90°.

Trochę za dużo, w porównaniu z tradycją astrologii!

Ale w tym miejscu wchodzi astrologia harmoniczna. Astrologiczne lub zodiakalne fale występują nie tylko jako proste fale w kształcie sinusoid lub exp(i·x) – ale istnieją wraz ze swoimi harmonicznymi – czyli z sinusoidami o okresach 360°/2, 360°/3, i ogólnie 360°/n. Zapewne przy którymś rzędzie harmonicznej, n, trzeba przestać, podobnie jak to się dzieje z harmonicznymi w akustyce: powyżej pewnego n nasze uszy przestają je słyszeć.

Poniżej na wykres „podstawowej” funkcji podobieństwa, czyli tej funkcji dla 1-szej harmonicznej, nałożyłem analogiczny wykres, tylko dla 3-ciej harmonicznej:

Widzimy, że żeby dwie planety rozsunięte o pewien kąt d sprzęgały się nie tylko przez 1-szą harmoniczną, ale także przez 2-gą i 3-cią harmoniczną, kąt ten musi być nie mniejszy niż orb dla 3-ciej harmonicznej, czyli 90°/3 = 30°. Ta liczba już jest bardziej wiarygodna. Richard Tarnas w „Cosmos and Psyche” używa orbów 15° – czyli takich, jakie według naszej metody odpowiadają szóstej harmonicznej.

Widzimy też, że istnieje związek między orbem a zakresem harmonicznych, jakie umawiamy się „słyszeć” („astro-słyszeć”!). Jeśli dla aspektu rzędu n używasz orbu d stopni, to tym samym obcinasz harmoniczne przy liczbie około 360°/(4·d).

W „Astrologii samopoznania”, rozdział 9. Aspekty zalecam np. dla kwintyli (n=5) używać orbu 4.3°. Znaczy to, że wraz z kwintylami zalecam „słyszeć” (czyli astrologicznie rozpoznawać) również wyższe harmoniczne nie większe od numeru 21, a więc harmoniczne współmierne z kwintylami, takie jak: 10, 15 i 20.

Podany tam orb dla koniunkcji, 10°, każe „wychwytywać” harmoniczne aż do 9-tej. To trochę za mało, skoro klasyczna astrologia uwzględnia harmoniczne aż do 12. Dla tego numeru harmonicznej wychodzi orb = 7.5°.

Z drugiej strony, być może (w pewnym przypadkach) wystarcza obcięcie harmonicznych przy liczbie 4 – jak wyżej dla kwintylu. Wtedy orb dla koniunkcji byłby równy aż 22.5°. Być może dla wysokich harmonicznych, jak piąta i kwintyl, wystarczą szerokie orby i skąpa świta harmonicznych – a dla niskich harmonicznych, 1, 2, 3, czyli dla koniunkcji, opozycji lub trygonów należy zawęzić orby i wydłużyć świtę harmonicznych.

To był pierwszy model orbu aspektów: przez miarę podobieństwa fal. Jest jeszcze drugi model: przez czyszczenie przez aspekty swoich otoczeń. I trzeci model: przez analogię z układami rezonansowymi. O tamtych dwóch modelach później.

Wojciech Jóźwiak
2016-03-23

☚ Prolegomena do badania wydarzeń Urana | Ściąga: okresy wzajemnych cykli powolnych planet ☛

Komentowanie wymaga zalogowania i/lub ważnego abonamentu.